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1. Wo steckt das rechtwinklige Dreieck?
Ein Rechteck hat vier rechte Winkel.
Zeichnest du eine Diagonale ein, wird das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke geteilt.
Länge a und Breite b sind die Katheten.
Die Diagonale d ist die Hypotenuse.
2. Formel für die Rechteckdiagonale
a² + b² = d²
Da die Diagonale gesucht ist, ziehen wir am Ende die Wurzel:
d = √(a² + b²)
Merksatz: Rechteckdiagonale = Wurzel aus Länge² + Breite².
Unterschied zum Quadrat: Beim Quadrat sind beide Katheten gleich lang. Beim Rechteck können a und b verschieden lang sein.
3. Beispiel: a = 6 cm, b = 8 cm
1
Formel: d = √(a²+b²)
2
Einsetzen: d = √(6²+8²)
3
Quadrieren: d = √(36+64)
4
Addieren: d = √100
5
Wurzel: d = 10
Ergebnis: d = 10 cm
Plausibilitätskontrolle: Die Diagonale ist die Hypotenuse und muss daher länger als 6 cm und länger als 8 cm sein.
4. Beispiel mit Dezimalzahl
Gegeben: a = 9 cm, b = 5 cm.
d = √(9² + 5²)
d = √(81 + 25)
d = √106
d ≈ 10,30 cm
d = √(81 + 25)
d = √106
d ≈ 10,30 cm
Wenn keine ganze Zahl herauskommt, wird je nach Aufgabenstellung sinnvoll gerundet.
5. Quadrat und Rechteck vergleichen
Quadrat
Seiten: a und a
d = √(a²+a²)
d = a·√2
Seiten: a und a
d = √(a²+a²)
d = a·√2
Rechteck
Seiten: a und b
d = √(a²+b²)
Seiten: a und b
d = √(a²+b²)
Die Quadrat-Formel ist nur ein Spezialfall der Rechteck-Formel, weil beim Quadrat a = b gilt.
6. Typische Fehler
Fehler 1: d = a + b
Die Diagonale ist nicht einfach Länge plus Breite.
Die Diagonale ist nicht einfach Länge plus Breite.
Fehler 2: d = √(a+b)
Beide Seiten müssen zuerst quadriert werden.
Beide Seiten müssen zuerst quadriert werden.
Fehler 3: d² = a²+b² berechnen und dann aufhören.
Gesucht ist d, deshalb am Ende die Quadratwurzel ziehen.
Gesucht ist d, deshalb am Ende die Quadratwurzel ziehen.
7. Verständnisfragen
Bei einer falschen Antwort bekommst du einen Hinweis.
1) Was erzeugt eine Diagonale im Rechteck?
2) Welche Seite ist im Teildreieck die Hypotenuse?
3) Welche Formel ist richtig?
4) Welche Kurzformel berechnet d direkt?
5) a=3 cm, b=4 cm. Wie groß ist d?
6) a=5 cm, b=12 cm. Wie groß ist d?
7) Welche Aussage über d ist richtig?
8) Was ist der Unterschied zum Quadrat?
9) a=7 cm, b=24 cm. Wie groß ist d?
10) Warum muss am Ende eine Wurzel gezogen werden?
8. Rechentraining – ohne Antwortvorgaben
11) Rechteck: a=8 cm, b=15 cm. Berechne d.
12) Rechteck: a=9 cm, b=12 cm. Berechne d.
13) Rechteck: a=5 cm, b=7 cm. Berechne d auf zwei Nachkommastellen.
14) Rechteck: a=20 m, b=21 m. Berechne d.
15) Bei a=10 cm und b=24 cm: Wie groß ist d²?
16) Ergänze: d = √(a² __ b²)
9. Fehlerdetektiv
Ein Schüler rechnet bei a=6 cm und b=8 cm:
d = √(6+8)
d = √14
d ≈ 3,74 cm
d = √14
d ≈ 3,74 cm
Fehler: Die Katheten müssen quadriert werden.
Richtig: d = √(6²+8²) = √100 = 10 cm.
10. Das musst du nach diesem Video können
✓Die Diagonale als Hypotenuse erkennen.
✓Länge und Breite als Katheten verwenden.
✓a²+b²=d² aufstellen.
✓d=√(a²+b²) korrekt anwenden.
✓Dezimalergebnisse sinnvoll runden.
✓Das Ergebnis prüfen: d muss länger als a und b sein.