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1. Die Grundidee
Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel.
Wenn du eine Diagonale einzeichnest, teilst du das Quadrat in zwei rechtwinklige Dreiecke.
In jedem dieser Dreiecke sind die beiden Quadratseiten die Katheten und die Diagonale ist die Hypotenuse.
2. Pythagoras auf das Quadrat anwenden
Im rechtwinkligen Teildreieck gilt:
a² + a² = d²
Weil beide Katheten gleich lang sind, steht zweimal a²:
2a² = d²
Jetzt die Wurzel ziehen:
d = √(2a²)
Das kann man vereinfachen zu:
d = a · √2
Merksatz: Diagonale eines Quadrats = Seitenlänge · √2.
3. Beispiel: Seitenlänge a = 5 cm
1
Formel: d = a · √2
2
Einsetzen: d = 5 · √2
3
Taschenrechner: √2 ≈ 1,4142
4
5 · 1,4142 ≈ 7,071
5
Gerundet: d ≈ 7,07 cm
Kontrolle über Pythagoras:
5² + 5² = d²
25 + 25 = d²
50 = d²
d = √50 ≈ 7,07 cm
5² + 5² = d²
25 + 25 = d²
50 = d²
d = √50 ≈ 7,07 cm
Wichtig: Die Diagonale muss länger sein als eine Quadratseite. 7,07 cm ist bei einer Seitenlänge von 5 cm also plausibel.
4. Zwei gleichwertige Rechenwege
Weg A – direkt mit Pythagoras
d = √(a² + a²)
d = √(a² + a²)
Weg B – Kurzformel
d = a · √2
d = a · √2
Beide Wege liefern dasselbe Ergebnis. Die Kurzformel ist nur eine vereinfachte Form des Satzes des Pythagoras.
5. Beispiel: a = 8 cm
d = 8 · √2
d ≈ 8 · 1,4142
d ≈ 11,31 cm
d ≈ 8 · 1,4142
d ≈ 11,31 cm
Alternativ:
d = √(8² + 8²)
d = √(64 + 64)
d = √128
d ≈ 11,31 cm
d = √(64 + 64)
d = √128
d ≈ 11,31 cm
6. Typische Fehler
Fehler 1: d = a + a
Die Diagonale ist nicht einfach die Summe zweier Seiten.
Die Diagonale ist nicht einfach die Summe zweier Seiten.
Fehler 2: d² = a² + a
Beide Katheten müssen quadriert werden.
Beide Katheten müssen quadriert werden.
Fehler 3: Bei d² = 50 aufhören.
Gesucht ist d, also musst du noch √50 rechnen.
Gesucht ist d, also musst du noch √50 rechnen.
7. Verständnisfragen
Bei einer falschen Antwort bekommst du einen Hinweis.
1) Was entsteht, wenn man in einem Quadrat eine Diagonale einzeichnet?
2) Welche Seite ist im Teildreieck die Hypotenuse?
3) Welche Gleichung gilt?
4) Was ist a² + a²?
5) Welche Kurzformel ist richtig?
6) a = 3 cm. Wie groß ist d ungefähr?
7) a = 10 cm. Welche Eingabe ist richtig?
8) Warum ist d größer als a?
9) √2 ist ungefähr …
10) Sind d = √(a²+a²) und d = a·√2 gleichwertig?
8. Rechentraining – ohne Antwortvorgaben
11) Quadrat mit a = 6 cm. Berechne d auf zwei Nachkommastellen.
12) Quadrat mit a = 7 cm. Berechne d auf zwei Nachkommastellen.
13) Quadrat mit a = 12 cm. Berechne d auf zwei Nachkommastellen.
14) Bei a = 9 cm: Wie groß ist d²?
15) Ergänze: d = a · √__
16) Ergänze: Die Diagonale ist im Teildreieck die __________.
9. Fehlerdetektiv
Ein Schüler rechnet bei a = 5 cm:
d² = 5² + 5²
d² = 25 + 25
d² = 50
d = 50 cm
d² = 25 + 25
d² = 50
d = 50 cm
Fehler: 50 ist d², nicht d.
Richtig: d = √50 ≈ 7,07 cm.
10. Das musst du nach diesem Video können
✓Erkennen, dass eine Quadratdiagonale zwei rechtwinklige Dreiecke erzeugt.
✓Die Diagonale als Hypotenuse erkennen.
✓a² + a² = d² aufstellen.
✓Zu d = a·√2 vereinfachen.
✓Mit dem Taschenrechner √2 verwenden.
✓Das Ergebnis auf Plausibilität prüfen: d muss größer als a sein.