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1. Neue Fragestellung
Bisher war klar: Das Dreieck ist rechtwinklig, und wir haben mit Pythagoras eine fehlende Seite berechnet.
Jetzt ist es umgekehrt:
Alle drei Seiten sind bekannt. Wir wollen herausfinden, ob das Dreieck überhaupt rechtwinklig ist.
Dafür benutzen wir die Umkehrung des Satzes des Pythagoras.
2. Der wichtigste erste Schritt: längste Seite finden
Für die Prüfung brauchst du wieder die Form
a² + b² = c²
Aber diesmal sind die Buchstaben oft noch nicht vorgegeben.
Deshalb: Die längste Seite wird zuerst als c gewählt.
Die beiden kürzeren Seiten sind a und b.
Warum? Falls das Dreieck rechtwinklig ist, muss die längste Seite die Hypotenuse sein – und die Hypotenuse steht bei Pythagoras als c allein auf der rechten Seite.
Häufigster Fehler: Einfach irgendeine Seite als c einsetzen. Bei dieser Prüfung muss c die längste der drei Seiten sein.
3. Entscheidungsregel
Linke Seite
a² + b²
a² + b²
?
Rechte Seite
c²
c²
Wenn a² + b² = c² → rechtwinklig ✓
Wenn die beiden Werte nicht gleich sind, ist das Dreieck nach dieser Prüfung nicht rechtwinklig.
4. Beispiel 1: 3 cm, 4 cm, 5 cm
1
Längste Seite finden: 5 cm → also c = 5.
2
Die anderen Seiten: a = 3, b = 4.
3
Linke Seite: a² + b² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
4
Rechte Seite: c² = 5² = 25.
5
Vergleichen: 25 = 25.
Ergebnis: Das Dreieck ist rechtwinklig. ✓
5. Beispiel 2: 4 cm, 5 cm, 6 cm
1
Längste Seite: 6 cm → c = 6.
2
a = 4, b = 5.
3
a² + b² = 4² + 5² = 16 + 25 = 41.
4
c² = 6² = 36.
5
Vergleichen: 41 ≠ 36.
Ergebnis: Das Dreieck ist nicht rechtwinklig. ✗
6. Die sichere 4-Schritte-Methode
1
Längste Seite markieren und als c nehmen.
2
a² + b² mit den beiden kürzeren Seiten berechnen.
3
c² mit der längsten Seite berechnen.
4
Vergleichen: gleich → rechtwinklig; nicht gleich → nicht rechtwinklig.
Merksatz: Längste Seite suchen → zwei Quadrate addieren → längste Seite quadrieren → vergleichen.
7. Wichtig: Hier wird keine Seite gesucht
Bei dieser Aufgabenart musst du oft keine Wurzel ziehen.
Seitenberechnung
c = √(a² + b²)
Ziel: eine Länge finden
c = √(a² + b²)
Ziel: eine Länge finden
Rechtwinkligkeit prüfen
a² + b² ? c²
Ziel: zwei Werte vergleichen
a² + b² ? c²
Ziel: zwei Werte vergleichen
Nicht automatisch √ ziehen. Für die Rechtwinkligkeitsprüfung reicht der Vergleich der Quadrate.
8. Verständnisfragen
Bei einer falschen Antwort bekommst du einen Hinweis und kannst erneut versuchen.
1) Was ist bei drei gegebenen Seiten der erste Schritt?
2) Welche Seite wird als c gewählt?
3) Wann ist das Dreieck rechtwinklig?
4) Seiten: 6, 8, 10. Welche Seite ist c?
5) Seiten: 6, 8, 10. Wie groß ist a² + b²?
6) Seiten: 6, 8, 10. Ist das Dreieck rechtwinklig?
7) Seiten: 5, 6, 8. Welche Prüfung ist richtig?
8) 5² + 6² = 61 und 8² = 64. Was folgt?
9) Musst du bei dieser Prüfung immer eine Quadratwurzel ziehen?
10) Warum nimmt man die längste Seite als c?
9. Prüfe selbst – ohne Antwortvorgaben
11) Seiten 9 cm, 12 cm, 15 cm. Ist das Dreieck rechtwinklig? Schreibe „ja“ oder „nein“.
12) Seiten 7 cm, 24 cm, 25 cm. Ist das Dreieck rechtwinklig?
13) Seiten 7 cm, 8 cm, 10 cm. Ist das Dreieck rechtwinklig?
14) Seiten 8 cm, 15 cm, 17 cm. Berechne a² + b².
15) Bei denselben Seiten 8, 15, 17: Berechne c².
16) Ergänze: Sind a² + b² und c² ________, ist das Dreieck rechtwinklig.
10. Fehlerdetektiv
Ein Schüler prüft die Seiten 6 cm, 8 cm, 10 cm so:
6² + 10² = 136
8² = 64
136 ≠ 64
→ „nicht rechtwinklig“
8² = 64
136 ≠ 64
→ „nicht rechtwinklig“
Fehler: Er hat 8 als c benutzt. Die längste Seite ist aber 10 cm.
Richtig: 6² + 8² = 36 + 64 = 100 und 10² = 100. Also ist das Dreieck rechtwinklig.
11. Das musst du nach diesem Video können
✓Bei drei Seiten zuerst die längste Seite bestimmen.
✓Die längste Seite als c behandeln.
✓a² + b² berechnen.
✓c² separat berechnen.
✓Gleichheit prüfen: a²+b² = c² → rechtwinklig.
✓Erkennen, dass bei dieser Aufgabenart normalerweise keine Wurzel nötig ist.