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1. Das Problem: Das große Dreieck ist nicht rechtwinklig
Der Satz des Pythagoras gilt nur in einem rechtwinkligen Dreieck.
Was tun, wenn das gegebene Dreieck selbst keinen 90°-Winkel hat?
Der Trick: Zeichne vom oberen Eckpunkt eine Höhe senkrecht auf die Grundseite. Dadurch entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke.
In diesen beiden kleinen Dreiecken darfst du Pythagoras anwenden.
2. Warum funktioniert die Höhe?
Eine Höhe steht senkrecht auf der gegenüberliegenden Seite. Senkrecht bedeutet: Es entsteht ein 90°-Winkel.
Linkes kleines Dreieck
Hypotenuse: b
Katheten: h und p
h² + p² = b²
Hypotenuse: b
Katheten: h und p
h² + p² = b²
→
Rechtes kleines Dreieck
Hypotenuse: a
Katheten: h und q
h² + q² = a²
Hypotenuse: a
Katheten: h und q
h² + q² = a²
Wichtig: Für jeden Pythagoras-Schritt musst du immer nur eines der beiden kleinen rechtwinkligen Dreiecke betrachten.
3. Typisches Beispiel: zwei Pythagoras-Schritte
Gegeben sind:
b = 13 cm
linke Außenseite
linke Außenseite
p = 5 cm
linkes Grundstück
linkes Grundstück
q = 9 cm
rechtes Grundstück
rechtes Grundstück
Gesucht ist die rechte Außenseite a. Direkt geht das noch nicht, weil zuerst die gemeinsame Höhe h fehlt.
Schritt A – zuerst die Höhe h berechnen
1
Linkes rechtwinkliges Dreieck auswählen.
2
h² + p² = b²
3
h² + 5² = 13²
4
h² = 169 − 25 = 144
5
h = √144 = 12 cm
Schritt B – mit h die zweite Seite a berechnen
6
Rechtes rechtwinkliges Dreieck auswählen.
7
h² + q² = a²
8
12² + 9² = a²
9
144 + 81 = 225
10
a = √225 = 15 cm
Ergebnis: Durch die Höhe konntest du aus einem normalen Dreieck zwei rechtwinklige Dreiecke machen und Pythagoras zweimal benutzen.
4. Die richtige Denk-Reihenfolge
1
90° suchen. Gibt es noch keinen? Dann prüfen, ob eine Höhe eingezeichnet werden kann.
2
Erstes kleines Dreieck auswählen. Welche drei Seiten gehören wirklich dazu?
3
Zwischengröße berechnen – sehr häufig ist das die Höhe h.
4
Zweites kleines Dreieck benutzen. Die eben berechnete Größe wird dort eingesetzt.
5
Gesuchte Größe berechnen und prüfen.
Nicht alle Zahlen auf einmal in eine Formel werfen. Bei zusammengesetzten Figuren ist die wichtigste Fähigkeit, die richtigen kleinen rechtwinkligen Dreiecke einzeln zu erkennen.
5. Grundseite richtig zusammensetzen
Die Höhe teilt die Grundseite c in zwei Stücke:
c = p + q
Wenn also c = 14 cm und p = 5 cm gegeben sind, gilt:
q = c − p = 14 − 5 = 9 cm
Manchmal ist genau diese kleine Subtraktion nötig, bevor du überhaupt Pythagoras benutzen kannst.
6. Verständnisfragen
Falsche Antworten geben dir einen Hinweis; danach kannst du erneut antworten.
1) Darfst du Pythagoras direkt auf jedes beliebige Dreieck anwenden?
2) Was bewirkt die eingezeichnete Höhe?
3) Wie groß ist der Winkel zwischen Höhe und Grundseite?
4) Im linken Teildreieck sind h und p die …
5) Im linken Teildreieck ist b die …
6) Welche Gleichung gehört zum linken Teildreieck?
7) b = 13 cm und p = 5 cm. Wie groß ist h?
8) h = 12 cm und q = 9 cm. Wie groß ist a?
9) Die Grundseite ist c = 14 cm und p = 5 cm. Wie groß ist q?
10) Warum wird Pythagoras in solchen Aufgaben oft zweimal benutzt?
7. Rechentraining – ohne Antwortvorgaben
11) Linkes Teildreieck: b = 10 cm, p = 6 cm. Berechne h.
12) Rechtes Teildreieck: h = 8 cm, q = 15 cm. Berechne a.
13) Grundseite c = 20 cm, linker Abschnitt p = 8 cm. Berechne q.
14) b = 17 cm, p = 8 cm. Berechne zuerst h.
15) Nutze dein Ergebnis aus 14: h = 15 cm und q = 20 cm. Berechne a.
16) Ergänze: Eine Höhe steht __________ auf der Grundseite.
8. Fehlerdetektiv
Ein Schüler sieht das große Dreieck und schreibt sofort:
5² + 9² = a²
25 + 81 = a²
a = √106
25 + 81 = a²
a = √106
Fehler: 5 cm und 9 cm liegen nicht zusammen als Katheten in demselben rechtwinkligen Dreieck. Zuerst muss mit 13 cm und 5 cm die Höhe h berechnet werden. Erst danach kann h zusammen mit 9 cm im rechten Teildreieck verwendet werden.
9. Das musst du nach diesem Video können
✓Erkennen, dass Pythagoras nur in rechtwinkligen Dreiecken gilt.
✓Durch eine Höhe zwei rechtwinklige Teildreiecke erkennen.
✓Die Grundseite als c = p + q aufteilen.
✓Eine Zwischengröße – meist h – mit dem ersten Pythagoras berechnen.
✓Die Zwischengröße im zweiten Teildreieck weiterverwenden.
✓Nicht Zahlen mischen, die nicht zum selben rechtwinkligen Teildreieck gehören.