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1. Erst erkennen: Was ist gegeben, was ist gesucht?
Im rechtwinkligen Dreieck gilt weiterhin:
a² + b² = c²
c ist die Hypotenuse. a und b sind die Katheten.
Wichtig: Wenn eine Kathete gesucht ist, brauchst du eine Subtraktion. Denn die Hypotenuse steht allein auf der anderen Seite.
2. Formel nach der Kathete umstellen
a² + b² = c²
Wenn a gesucht ist, ziehst du b² auf beiden Seiten ab:
a² = c² − b²
Dann ziehst du die Wurzel:
a = √(c² − b²)
Merksatz: Bei gesuchter Kathete: Hypotenuse² − bekannte Kathete², danach die Wurzel.
Wenn stattdessen b gesucht ist:
b = √(c² − a²)
3. Beispiel: c = 5 cm, b = 4 cm, gesucht a
1
Grundformel:
a² + b² = c²
a² + b² = c²
2
Einsetzen:
a² + 4² = 5²
a² + 4² = 5²
3
Quadrieren:
a² + 16 = 25
a² + 16 = 25
4
16 abziehen:
a² = 25 − 16
a² = 25 − 16
5
Ausrechnen:
a² = 9
a² = 9
6
Wurzel ziehen:
a = √9 = 3
a = √9 = 3
7
Antwort:
a = 3 cm
a = 3 cm
Typischer Fehler: Nicht 4² − 5² rechnen. Bei einer Kathete rechnest du immer Hypotenuse² − Kathete².
4. Beispiel mit Dezimalergebnis
Gegeben: c = 10 cm, b = 6 cm. Gesucht: a.
a = √(c² − b²)
a = √(10² − 6²)
a = √(100 − 36)
a = √64
a = 8 cm
a = √(10² − 6²)
a = √(100 − 36)
a = √64
a = 8 cm
Noch ein Beispiel: c = 9 cm, b = 5 cm.
a = √(9² − 5²)
a = √(81 − 25)
a = √56
a ≈ 7,48 cm
a = √(81 − 25)
a = √56
a ≈ 7,48 cm
Plausibilitätskontrolle: Eine Kathete muss kürzer sein als die Hypotenuse. 7,48 cm ist also bei c = 9 cm möglich.
5. Unterschied zu Lektion 03
Hypotenuse gesucht
c = √(a² + b²)
→ PLUS
c = √(a² + b²)
→ PLUS
Kathete gesucht
a = √(c² − b²)
→ MINUS
a = √(c² − b²)
→ MINUS
Super-Merksatz: Hypotenuse gesucht = plus. Kathete gesucht = minus.
6. Verständnisfragen
Bei falscher Antwort bekommst du einen Hinweis und kannst erneut versuchen.
1) Was ist die Hypotenuse?
2) a ist gesucht, c und b sind bekannt. Welche Formel ist richtig?
3) Warum steht bei der Kathetenberechnung ein Minus?
4) c = 5 cm und b = 4 cm. Was ist a²?
5) Wenn a² = 9 gilt, wie lang ist a?
6) Welche Reihenfolge ist richtig?
7) c = 13 cm und b = 5 cm. Wie groß ist a?
8) Welche Aussage muss bei einer Kathete stimmen?
9) b ist gesucht. Welche Kurzformel ist richtig?
10) Was ist der größte Unterschied zur Hypotenusenberechnung?
7. Rechentraining – ohne Antwortvorgaben
11) c = 10 cm, b = 6 cm. Berechne a.
12) c = 13 m, a = 5 m. Berechne b.
13) c = 17 cm, b = 8 cm. Berechne a.
14) c = 25 cm, a = 7 cm. Berechne b.
15) c = 9 cm, b = 5 cm. Berechne a auf zwei Nachkommastellen.
16) Ergänze: gesuchte Kathete = √(________² − bekannte Kathete²)
8. Fehlerdetektiv
Ein Schüler rechnet:
c = 13 cm, b = 5 cm
a² = 13² + 5²
a² = 169 + 25
a = √194
a² = 13² + 5²
a² = 169 + 25
a = √194
Fehler: Eine Kathete ist gesucht. Deshalb muss man subtrahieren: a² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144. Also a = 12 cm.
9. Das musst du nach diesem Video können
✓Hypotenuse und Katheten sicher unterscheiden.
✓Bei gesuchter Kathete die Formel richtig umstellen.
✓c² − bekannte Kathete² rechnen.
✓Am Ende die Quadratwurzel ziehen.
✓Hypotenuse gesucht = plus; Kathete gesucht = minus unterscheiden.
✓Ergebnis prüfen: Kathete muss kürzer als die Hypotenuse sein.