Jetzt lernst du, was der Satz des Pythagoras wirklich bedeutet – nicht nur die Formel auswendig, sondern warum sie funktioniert und wann du sie benutzen darfst.
Der Satz des Pythagoras funktioniert in einem rechtwinkligen Dreieck.
Rechtwinklig bedeutet: Einer der drei Winkel ist genau 90°.
Die beiden Seiten, die sich am rechten Winkel treffen, heißen Katheten.
Die Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt Hypotenuse.
Achtung: Bevor du irgendeine Pythagoras-Formel aufschreibst, suche zuerst den 90°-Winkel und danach die Hypotenuse.
2. Der Satz des Pythagoras
a² + b² = c²
Kathete² + Kathete² = Hypotenuse²
Die Buchstaben sind nicht das Entscheidende. Entscheidend ist ihre Rolle:
a erste Kathete
b zweite Kathete
c Hypotenuse, gegenüber 90°
Sehr wichtig: c ist nur dann die Hypotenuse, wenn die Zeichnung entsprechend beschriftet ist. Sicherer Merksatz: Die Seite gegenüber 90° muss allein auf der rechten Seite der Gleichung stehen.
3. Was bedeutet das Quadrat „²“?
Das „²“ bedeutet nicht einfach „mal zwei“. Es bedeutet: Eine Zahl wird mit sich selbst multipliziert.
3² = 3 · 3 = 9
4² = 4 · 4 = 16
5² = 5 · 5 = 25
Geometrisch kann man sich a², b² und c² als Flächeninhalte von Quadraten über den drei Dreiecksseiten vorstellen.
a² Kathetenquadrat
+
b² Kathetenquadrat
=
c² Hypotenusenquadrat
Die Flächen der beiden Kathetenquadrate zusammen sind genauso groß wie die Fläche des Hypotenusenquadrats.
4. Das berühmte 3–4–5-Beispiel
Nehmen wir ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 3 cm und 4 cm und der Hypotenuse 5 cm.
1
Formel: a² + b² = c²
2
Einsetzen: 3² + 4² = 5²
3
Quadrieren: 9 + 16 = 25
4
Prüfen: 25 = 25 ✓
9 cm²
+
16 cm²
=
25 cm²
5. Jetzt bist du dran – Verständnisfragen
Bei einer falschen Antwort bekommst du einen Hinweis und kannst es noch einmal versuchen.
1) Wann darfst du den Satz des Pythagoras anwenden?
2) Wie groß ist der besondere Winkel?
3) Wo liegt die Hypotenuse?
4) Wie heißen die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden?
5) Welche Formel ist richtig, wenn c die Hypotenuse ist?
6) Was bedeutet 6²?
7) Was beschreibt a² geometrisch?
8) Bei einem 3–4–5-Dreieck: Wie viel ist 3² + 4²?
9) Ein Dreieck hat keinen 90°-Winkel. Darfst du einfach a² + b² = c² benutzen?
10) Die Hypotenuse heißt in einer Aufgabe x. Welche Aussage ist dann richtig?
6. Mini-Test – ohne Auswahlmöglichkeiten
11) Ergänze: Kathete² + Kathete² = ________²
12) Berechne: 7² = ?
13) Ein rechtwinkliges Dreieck hat a = 6 cm und b = 8 cm. Welchen Wert hat c²?
14) Die Kathetenquadrate haben 36 cm² und 64 cm² Fläche. Wie groß ist das Hypotenusenquadrat?
Für 13 und 14 musst du noch keine Wurzel ziehen. Gesucht ist jeweils nur das Quadrat: addiere die beiden Kathetenquadrate.
7. Selbstkontrolle: Kannst du diese vier Sätze erklären?
✓Der Satz des Pythagoras gilt für rechtwinklige Dreiecke.
✓Die Hypotenuse liegt gegenüber dem 90°-Winkel.
✓Kathete² + Kathete² = Hypotenuse².
✓a² + b² = c² kann als Flächengleichung von drei Quadraten verstanden werden.
Wenn du jeden Satz ohne Hilfe in eigenen Worten erklären kannst, sitzt die Einführung.