Körperberechnung 09: Kegel

Der Kegel verbindet zwei bekannte Ideen: eine Kreisgrundfläche wie beim Zylinder und den Faktor ⅓ wie bei der Pyramide. Für die Mantellinie brauchst du wieder den Satz des Pythagoras.

Klasse 9 Kegel V = ⅓·πr²h s = √(r²+h²)
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1. Was ist ein Kegel?

Ein Kegel besitzt:

  • eine kreisförmige Grundfläche
  • eine Spitze S
  • einen gekrümmten Mantel
Der Kegel ist zur Kreisgrundfläche das, was die Pyramide zu einer polygonalen Grundfläche ist.
S h r s

2. Verbindung zum Zylinder

Zylinder

G = πr²
V = πr²h
Kegel

G = πr²
V = ⅓·πr²h
Bei gleicher Grundfläche und Höhe hat der Kegel genau ein Drittel des Zylindervolumens.

3. Volumen des Kegels

V = ⅓ · G · h

Weil G = πr²:

V = ⅓ · πr²h
r = 3 cm, h = 8 cm

V = ⅓·π·3²·8
V = 24π
V ≈ 75,40 cm³
Häufigster Fehler: Den Faktor ⅓ vergessen. Dann würdest du das Volumen eines Zylinders berechnen.

4. Die Mantellinie s

Die schräge Strecke von der Spitze bis zum Rand der Grundfläche heißt Mantellinie s.

Im Schnitt durch die Mitte entsteht ein rechtwinkliges Dreieck:

  • Kathete: h
  • Kathete: r
  • Hypotenuse: s
s = √(r²+h²)
h r s
Hier taucht Pythagoras wieder direkt auf.

5. Beispiel Mantellinie

Gegeben: r = 6 cm, h = 8 cm.

1
s = √(6²+8²)
2
s = √(36+64)
3
s = √100
4
s = 10 cm

6. Mantelfläche des Kegels

Die Mantelfläche wird mit Radius r und Mantellinie s berechnet:

M = πrs
r = 4 cm, s = 6 cm

M = π·4·6
M = 24π
M ≈ 75,40 cm²

7. Oberfläche des Kegels

Die Oberfläche besteht aus Grundfläche und Mantel:

O = G + M

Also:

O = πr² + πrs
Der Kegel hat keine Deckfläche. Deshalb steht hier nur einmal G.

8. Beispiel Oberfläche

Gegeben: r = 3 cm, h = 4 cm.

1
s = √(3²+4²) = 5 cm
2
G = π·3² = 9π cm²
3
M = π·3·5 = 15π cm²
4
O = 24π ≈ 75,40 cm²

9. Zylinder, Pyramide und Kegel vergleichen

Zylinder

Kreisgrundfläche
V = G·h
Pyramide

Polygon-Grundfläche
V = ⅓·G·h
Kegel

Kreisgrundfläche
V = ⅓·G·h
Die Struktur ist jetzt klar: Gerade Körper → G·h. Spitze Körper → ⅓·G·h.

10. Verständnisfragen

1) Welche Form hat die Grundfläche eines Kegels?
2) Welche Volumenformel gilt?
3) Welche Formel gilt für die Mantellinie?
4) r=6 cm, h=8 cm. Wie groß ist s?
5) Welche Formel gilt für die Mantelfläche?
6) Welche Formel gilt für die Oberfläche?
7) r=3 cm, h=4 cm. Wie groß ist s?
8) Wie groß ist das Kegelvolumen im Vergleich zum Zylinder mit gleichem r und h?
9) Welche Einheit hat die Mantellinie s?
10) Welche bekannte Methode wird zur Berechnung von s benutzt?

11. Mini-Test – ohne Antwortvorgaben

11) Kegel: r = 3 cm, h = 6 cm. Berechne V auf zwei Nachkommastellen.
12) Kegel: r = 5 cm, h = 12 cm. Berechne s.
13) Kegel: r = 4 cm, s = 7 cm. Berechne M auf zwei Nachkommastellen.
14) Kegel: r = 3 cm, h = 4 cm. Berechne O auf zwei Nachkommastellen.
15) Kegel: d = 10 cm. Wie groß ist r?
16) Ergänze: M = π·r·___

12. Fehlerdetektiv

Ein Schüler rechnet bei r=3 cm und h=6 cm:

V = π·3²·6
V = 54π cm³
Fehler: Das ist das Volumen des passenden Zylinders.
Beim Kegel muss durch 3 geteilt werden:
V = ⅓·π·3²·6 = 18π ≈ 56,55 cm³.

13. Das musst du nach dieser Lektion können

✓Den Kegel als Körper mit Kreisgrundfläche und Spitze erkennen.
✓V = ⅓·πr²h anwenden.
✓Den Zusammenhang zum Zylinder verstehen.
✓Mit Pythagoras s = √(r²+h²) berechnen.
✓M = πrs berechnen.
✓O = G+M berechnen.
✓Radius und Durchmesser unterscheiden.