Körperberechnung 08: Pyramide

Die bekannte Idee „Grundfläche × Höhe“ bleibt erhalten — aber eine Pyramide füllt bei gleicher Grundfläche und Höhe nur ein Drittel des entsprechenden Prismas.

Klasse 9 Pyramide V = ⅓·G·h Pythagoras für Seitenhöhe
0/16 geschafft

1. Was ist eine Pyramide?

Eine Pyramide besitzt:

  • eine Grundfläche G
  • eine Spitze S
  • dreieckige Seitenflächen
Alle Seitenflächen treffen sich in einer gemeinsamen Spitze.
S h G

2. Die große Verbindung zum Prisma

Prisma

V = G·h
Pyramide

V = ⅓·G·h
Bei gleicher Grundfläche und gleicher Höhe hat die Pyramide genau ein Drittel des Volumens des Prismas.

3. Volumenformel

V = ⅓ · G · h

Die Reihenfolge bleibt vertraut:

1
Grundfläche G berechnen.
2
Mit der Körperhöhe h multiplizieren.
3
Durch 3 teilen.
Der häufigste Fehler: Den Faktor ⅓ vergessen.

4. Beispiel: quadratische Pyramide

Gegeben: a = 6 cm, h = 9 cm.

1
Grundfläche:
G = a² = 6² = 36 cm²
2
Volumen:
V = ⅓·36·9
3
V = 108 cm³
Zum Vergleich: Ein Prisma mit G=36 cm² und h=9 cm hätte 324 cm³. Die Pyramide hat 108 cm³ = ein Drittel.

5. Körperhöhe h und Seitenhöhe s

Diese beiden Größen dürfen nicht verwechselt werden.

Körperhöhe h

Senkrecht von der Spitze zur Grundfläche
→ für das Volumen
Seitenhöhe s

Höhe eines seitlichen Dreiecks
→ für die Mantelfläche
Wichtig: Für V = ⅓·G·h benutzt du die senkrechte Körperhöhe h, nicht die schräge Seitenhöhe s.

6. Pythagoras liefert die Seitenhöhe

Bei einer geraden quadratischen Pyramide entsteht im Inneren wieder ein rechtwinkliges Dreieck.

Die Katheten sind:

  • Körperhöhe h
  • halbe Grundkante a/2

Die Hypotenuse ist die Seitenhöhe s.

s = √(h² + (a/2)²)
h s a/2
Hier kommt Pythagoras wieder direkt in die Körperberechnung hinein.

7. Mantelfläche einer quadratischen Pyramide

Die vier Seitenflächen sind Dreiecke.

Eine Seitenfläche:

ADreieck = (a·s) : 2

Vier gleiche Seitenflächen:

M = 2·a·s

Denn:

4 · (a·s/2) = 2as

8. Oberfläche

Die Oberfläche besteht aus Grundfläche und Mantelfläche:

O = G + M

Bei quadratischer Grundfläche:

O = a² + 2as
Anders als beim Prisma gibt es bei der Pyramide keine Deckfläche.

9. Beispiel mit Oberfläche

Gegeben: a = 6 cm, h = 4 cm.

1
Seitenhöhe:
s = √(4² + 3²) = √25 = 5 cm
2
Grundfläche:
G = 6² = 36 cm²
3
Mantel:
M = 2·6·5 = 60 cm²
4
Oberfläche:
O = 36+60 = 96 cm²

10. Verständnisfragen

1) Welche Volumenformel gilt für eine Pyramide?
2) Wie groß ist das Pyramidenvolumen im Vergleich zum passenden Prisma mit gleichem G und h?
3) Quadratische Grundfläche mit a=5 cm. Wie groß ist G?
4) G=30 cm², h=9 cm. Wie groß ist V?
5) Welche Höhe braucht man direkt für das Volumen?
6) Welche Formel berechnet bei einer geraden quadratischen Pyramide die Seitenhöhe s?
7) a=6 cm, h=4 cm. Wie groß ist s?
8) Welche Formel gilt für den Mantel einer quadratischen Pyramide?
9) Welche Formel gilt für die Oberfläche?
10) Wofür wird Pythagoras hier gebraucht?

11. Mini-Test – ohne Antwortvorgaben

11) Quadratische Pyramide: a=8 cm. Berechne G.
12) G=64 cm², h=9 cm. Berechne V.
13) Quadratische Pyramide: a=6 cm, h=4 cm. Berechne s.
14) a=6 cm, s=5 cm. Berechne M.
15) G=36 cm², M=60 cm². Berechne O.
16) Ergänze: V = ___ · G · h

12. Fehlerdetektiv

Ein Schüler rechnet bei G=36 cm² und h=9 cm:

V = 36·9
V = 324 cm³
Fehler: Das wäre das Volumen eines Prismas mit gleicher Grundfläche und Höhe.
Bei einer Pyramide gilt:
V = ⅓·36·9 = 108 cm³.

13. Das musst du nach dieser Lektion können

✓Eine Pyramide und ihre Bestandteile erkennen.
✓V = ⅓·G·h anwenden.
✓Die Verbindung zum Prisma verstehen.
✓Körperhöhe h und Seitenhöhe s unterscheiden.
✓Mit Pythagoras s = √(h²+(a/2)²) berechnen.
✓M = 2as und O = G+M bei einer quadratischen Pyramide anwenden.