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1. Was ist ein Zylinder?
Ein Zylinder besitzt zwei gleich große, parallele Kreisflächen.
- unten: Grundfläche
- oben: Deckfläche
- dazwischen: Mantelfläche
Der Zylinder funktioniert ähnlich wie ein Prisma — nur ist die Grundfläche ein Kreis.
2. Die Grundfläche ist ein Kreis
Für die Kreisfläche gilt:
G = πr²
r ist der Radius des Kreises.
r = 3 cm
G = π·3²
G = 9π
G ≈ 28,27 cm²
G = π·3²
G = 9π
G ≈ 28,27 cm²
Achtung: Wenn der Durchmesser d gegeben ist, gilt zuerst r = d:2.
3. Volumen des Zylinders
Die Grundidee kennst du:
V = G·h
Da G = πr² ist:
V = πr²h
r = 3 cm, h = 8 cm
V = π·3²·8
V = 72π
V ≈ 226,19 cm³
V = π·3²·8
V = 72π
V ≈ 226,19 cm³
4. Mantelfläche des Zylinders
Stell dir vor, du schneidest den Mantel auf und rollst ihn aus. Dann entsteht ein Rechteck.
Breite des Rechtecks
Kreisumfang
u = 2πr
Kreisumfang
u = 2πr
Höhe des Rechtecks
Zylinderhöhe h
Zylinderhöhe h
Darum gilt:
M = 2πr·h
5. Oberfläche des Zylinders
Die Oberfläche besteht aus:
- Grundfläche G
- Deckfläche G
- Mantelfläche M
O = 2G + M
Also:
O = 2πr² + 2πrh
Das ist dieselbe Struktur wie beim Prisma: Oberfläche = 2 Grundflächen + Mantel.
6. Beispiel Oberfläche
Gegeben: r = 2 cm, h = 5 cm.
1
G = π·2² = 4π cm²
2
M = 2π·2·5 = 20π cm²
3
O = 2·4π + 20π = 28π cm²
4
O ≈ 87,96 cm²
7. Radius oder Durchmesser?
Radius r
Mitte → Rand
Mitte → Rand
Durchmesser d
Rand → Mitte → Rand
d = 2r
Rand → Mitte → Rand
d = 2r
r = d : 2
Typischer Fehler: Den Durchmesser direkt als r einsetzen. Immer zuerst prüfen, welche Größe gegeben ist.
8. Verbindung zu den bisherigen Körpern
Quader
G = a·b
V = G·h
G = a·b
V = G·h
Prisma
G = je nach Form
V = G·h
G = je nach Form
V = G·h
Zylinder
G = πr²
V = G·h
G = πr²
V = G·h
Die Hauptidee ändert sich nicht: Erst Grundfläche, dann mit der Höhe multiplizieren.
9. Verständnisfragen
1) Welche Form hat die Grundfläche eines Zylinders?
2) Welche Formel gilt für G?
3) Welche Formel gilt für das Volumen?
4) Was ist bei d = 10 cm der Radius?
5) Welche Formel gilt für den Kreisumfang?
6) Welche Formel gilt für die Mantelfläche?
7) Welche Formel gilt für die Oberfläche?
8) r = 2 cm. Wie groß ist G ungefähr?
9) r = 2 cm, h = 5 cm. Wie groß ist V ungefähr?
10) Welche bekannte Grundidee bleibt auch beim Zylinder bestehen?
10. Mini-Test – ohne Antwortvorgaben
11) Zylinder: r = 4 cm. Berechne G auf zwei Nachkommastellen.
12) Zylinder: r = 3 cm, h = 10 cm. Berechne V auf zwei Nachkommastellen.
13) Zylinder: d = 12 cm. Wie groß ist r?
14) Zylinder: r = 5 cm, h = 7 cm. Berechne M auf zwei Nachkommastellen.
15) Zylinder: r = 2 cm, h = 5 cm. Berechne O auf zwei Nachkommastellen.
16) Ergänze: V = π·r²·___
11. Fehlerdetektiv
Ein Schüler hat d = 10 cm und h = 8 cm gegeben und rechnet:
V = π·10²·8
V = 800π cm³
V = 800π cm³
Fehler: 10 cm ist der Durchmesser, nicht der Radius.
r = 10:2 = 5 cm
V = π·5²·8 = 200π ≈ 628,32 cm³.
r = 10:2 = 5 cm
V = π·5²·8 = 200π ≈ 628,32 cm³.
12. Das musst du nach dieser Lektion können
✓Grundfläche, Deckfläche und Mantel des Zylinders erkennen.
✓G = πr² berechnen.
✓V = πr²h anwenden.
✓M = 2πrh berechnen.
✓O = 2G+M berechnen.
✓Radius und Durchmesser unterscheiden.
✓Die Verbindung V = G·h zu Prisma und Quader erkennen.