Körperberechnung 06: Prisma

Jetzt wird die bekannte Volumenidee verallgemeinert: Ein Prisma kann viele verschiedene Grundflächen haben. Die Regel bleibt trotzdem gleich: Erst die Grundfläche G berechnen, dann mit der Körperhöhe h multiplizieren.

Klasse 9 Prisma V = G·h Mantelfläche
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1. Was ist ein Prisma?

Ein Prisma besitzt zwei zueinander parallele und gleich große Flächen.

Diese heißen:

  • Grundfläche
  • Deckfläche

Dazwischen liegen die Seitenflächen.

Grundfläche und Deckfläche haben immer dieselbe Form und dieselbe Größe.
G Deckfläche

2. Quader ist auch ein Prisma

Das ist wichtig für die Verbindung zu den letzten Lektionen:

Ein Quader ist ein spezielles Prisma mit rechteckiger Grundfläche.

Darum kennst du die wichtigste Prismaformel bereits:

V = G · h

Neu ist nur: G muss nicht mehr zwingend ein Rechteck sein.

3. Verschiedene Grundflächen

Rechteck

G = a·b
Dreieck

G = (g·hG):2
Parallelogramm

G = g·hG
Wichtig: Die Volumenformel bleibt gleich. Nur die Berechnung der Grundfläche G ändert sich.

4. Volumen eines Prismas

V = G · h
1
Form der Grundfläche erkennen.
2
Grundfläche G berechnen.
3
Körperhöhe h erkennen.
4
V = G·h rechnen.
5
Einheit cm³ kontrollieren.
Merksatz: Erst Fläche, dann Körper — genau wie in Körperberechnung 02.

5. Beispiel: Dreiecksprisma

Gegeben:

1
Grundfläche:
G = (6·4):2 = 12 cm²
2
Volumen:
V = 12·10 = 120 cm³
Achtung: hG ist die Höhe innerhalb des Dreiecks. h ist die Länge/Höhe des gesamten Prismas.

6. Mantelfläche

Die Mantelfläche M besteht aus allen Seitenflächen — ohne Grund- und Deckfläche.

Bei einem geraden Prisma gilt:

M = uG · h

uG ist der Umfang der Grundfläche.

Dreiecksgrundfläche mit Seiten 3 cm, 4 cm, 5 cm
uG = 3+4+5 = 12 cm
Prismenhöhe h = 8 cm

M = 12·8
M = 96 cm²

7. Oberfläche eines Prismas

Zur Mantelfläche kommen Grund- und Deckfläche hinzu.

O = 2G + M

Mit M = uG·h:

O = 2G + uG·h
Oberfläche = Grundfläche + Deckfläche + Mantel.

8. Beispiel Oberfläche

Dreiecksprisma:

1
M = uG·h = 12·7 = 84 cm²
2
O = 2G + M = 2·6 + 84
3
O = 96 cm²

9. Pythagoras bleibt nützlich

Wenn die Grundfläche ein rechtwinkliges Dreieck ist, kannst du fehlende Seiten weiterhin mit Pythagoras bestimmen.

Katheten: 6 cm und 8 cm
Hypotenuse: √(6²+8²)=10 cm

Dann kannst du den Umfang berechnen:

uG = 6+8+10 = 24 cm

Und daraus die Mantelfläche:

M = uG·h
Pythagoras liefert also manchmal die fehlende Seitenlänge, die du für die Körperberechnung brauchst.

10. Verständnisfragen

1) Was haben Grund- und Deckfläche eines Prismas gemeinsam?
2) Welche Volumenformel gilt für ein Prisma?
3) Ist ein Quader ein Prisma?
4) Was bedeutet M?
5) Welche Formel gilt für die Mantelfläche eines geraden Prismas?
6) Welche Formel gilt für die Oberfläche?
7) Dreieck: g=8 cm, hG=5 cm. Wie groß ist G?
8) G=20 cm², Prismenhöhe h=9 cm. Wie groß ist V?
9) uG=14 cm, h=6 cm. Wie groß ist M?
10) Wofür kann Pythagoras beim Prisma gebraucht werden?

11. Mini-Test – ohne Antwortvorgaben

11) Dreiecksprisma: g=10 cm, hG=6 cm. Berechne G.
12) G=30 cm², Prismenhöhe h=8 cm. Berechne V.
13) Grundflächenumfang uG=18 cm, Prismenhöhe h=5 cm. Berechne M.
14) G=12 cm² und M=96 cm². Berechne O.
15) Rechtwinklige Dreiecksgrundfläche mit Katheten 5 cm und 12 cm: Berechne die Hypotenuse.
16) Ergänze: O = 2G + ____

12. Fehlerdetektiv

Ein Schüler rechnet bei einem Dreiecksprisma:

g = 6 cm, hG = 4 cm, Prismenhöhe h = 10 cm
G = 6·4 = 24 cm²
V = 24·10 = 240 cm³
Fehler: Die Grundfläche ist ein Dreieck. Deshalb muss durch 2 geteilt werden.
G = (6·4):2 = 12 cm²
V = 12·10 = 120 cm³.

13. Das musst du nach dieser Lektion können

✓Ein Prisma erkennen.
✓Grund- und Deckfläche unterscheiden.
✓V = G·h anwenden.
✓Je nach Grundform die passende Formel für G wählen.
✓M = uG·h berechnen.
✓O = 2G+M berechnen.
✓Pythagoras für fehlende Seiten in der Grundfläche nutzen.