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1. Erinnerung: Pythagoras auf einer Fläche
Die Grundfläche eines Quaders ist ein Rechteck.
Darum gilt für die Diagonale dieser Fläche:
dF = √(a²+b²)
Das ist exakt derselbe Pythagoras wie bei einem normalen Rechteck.
2. Die Raumdiagonale
Die Raumdiagonale dR verläuft durch das Innere des Quaders von einer Ecke zur gegenüberliegenden Ecke.
Sie ist länger als jede einzelne Kante.
Um sie zu berechnen, benutzen wir zuerst die Flächendiagonale.
Wichtig: Raumdiagonale = zweiter Pythagoras-Schritt.
3. Zwei Pythagoras-Schritte
1
Flächendiagonale:
dF² = a²+b²
dF² = a²+b²
2
Raumdiagonale:
dR² = dF²+h²
dR² = dF²+h²
Setzt man dF² = a²+b² ein, entsteht:
dR = √(a²+b²+h²)
Merksatz: Raumdiagonale = Wurzel aus den Quadraten aller drei Kantenlängen.
4. Beispiel: a=3 cm, b=4 cm, h=12 cm
1
Flächendiagonale:
dF = √(3²+4²)=√25=5 cm
dF = √(3²+4²)=√25=5 cm
2
Raumdiagonale:
dR = √(5²+12²)=√169=13 cm
dR = √(5²+12²)=√169=13 cm
Direkt geht auch:
dR = √(3²+4²+12²)
dR = √(9+16+144)
dR = √169
dR = 13 cm
dR = √(9+16+144)
dR = √169
dR = 13 cm
5. Warum funktioniert die Kurzformel?
dF² = a²+b²
Dann:
dR² = dF²+h²
Einsetzen:
dR² = a²+b²+h²
Wurzel ziehen:
dR = √(a²+b²+h²)
Die Kurzformel ist kein neuer Satz. Sie entsteht nur durch zweimaliges Anwenden des Satzes des Pythagoras.
6. Plausibilitätskontrolle
Die Raumdiagonale muss länger sein als:
- a
- b
- h
- jede Flächendiagonale
Wenn dein Ergebnis kleiner als die größte Kante ist, stimmt die Rechnung nicht.
7. Würfel als Spezialfall
Beim Würfel gilt a=b=h.
dR = √(a²+a²+a²)
dR = a·√3
Das kennst du bereits aus Körperberechnung 04.
8. Verständnisfragen
1) Welche Formel gilt für die Flächendiagonale?
2) Welche Formel gilt für die Raumdiagonale?
3) Warum braucht man zweimal Pythagoras?
4) a=3, b=4. Wie groß ist dF?
5) dF=5 und h=12. Wie groß ist dR?
6) Welche Aussage ist richtig?
7) Würfel: Welche Formel gilt für dR?
8) a=6, b=8, h=24. Wie groß ist dR?
9) Welche Einheit hat eine Raumdiagonale?
10) Ist dR = √(a²+b²+h²) ein völlig neuer Satz?
9. Mini-Test – ohne Antwortvorgaben
11) a=5 cm, b=12 cm. Berechne dF.
12) dF=13 cm, h=84 cm. Berechne dR.
13) a=6 cm, b=8 cm, h=24 cm. Berechne dR.
14) a=2 cm, b=3 cm, h=6 cm. Berechne dR auf zwei Nachkommastellen.
15) Würfel mit a=4 cm. Berechne dR auf zwei Nachkommastellen.
16) Ergänze: dR = √(a² + b² + ___²)
10. Fehlerdetektiv
Ein Schüler rechnet:
a=3, b=4, h=12
dR = √(3²+4²)
dR = 5 cm
dR = √(3²+4²)
dR = 5 cm
Fehler: 5 cm ist nur die Flächendiagonale.
Für die Raumdiagonale muss die Höhe noch hinein:
dR = √(3²+4²+12²) = √169 = 13 cm.
dR = √(3²+4²+12²) = √169 = 13 cm.
11. Das musst du nach dieser Lektion können
✓Flächendiagonale und Raumdiagonale unterscheiden.
✓dF = √(a²+b²) berechnen.
✓dR = √(a²+b²+h²) berechnen.
✓Verstehen, dass die Raumdiagonale aus zweimal Pythagoras entsteht.
✓Beim Würfel dR = a√3 anwenden.
✓Ergebnisse auf Plausibilität prüfen.