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1. Was ist ein Würfel?
Ein Würfel ist ein besonderer Quader.
Alle zwölf Kanten sind gleich lang.
Darum braucht man nur eine einzige Kantenlänge: a.
Alle sechs Flächen sind gleich große Quadrate.
2. Grundfläche des Würfels
Die Grundfläche ist ein Quadrat mit Seitenlänge a.
G = a²
a = 5 cm
G = 5²
G = 25 cm²
G = 5²
G = 25 cm²
Wie beim Quadrat gilt: Seitenlänge · Seitenlänge = a².
3. Volumen des Würfels
Aus der allgemeinen Formel V = G·h wird beim Würfel:
V = a³
Denn:
V = a · a · a
a = 4 cm
V = 4³ = 4·4·4
V = 64 cm³
V = 4³ = 4·4·4
V = 64 cm³
Achtung: a³ bedeutet nicht a·3, sondern a·a·a.
4. Oberfläche des Würfels
Ein Würfel hat sechs gleich große quadratische Flächen.
Eine Fläche: a²
O = 6a²
a = 3 cm
Eine Fläche = 3² = 9 cm²
O = 6·9
O = 54 cm²
Eine Fläche = 3² = 9 cm²
O = 6·9
O = 54 cm²
5. Quader und Würfel vergleichen
Quader
V = a·b·h
O = 2(ab+ah+bh)
V = a·b·h
O = 2(ab+ah+bh)
Würfel
a = b = h
V = a³
O = 6a²
a = b = h
V = a³
O = 6a²
Der Würfel ist also kein völlig neuer Körper, sondern ein Quader mit drei gleichen Kantenlängen.
6. Verbindung zu Pythagoras: Flächendiagonale
Jede Seitenfläche ist ein Quadrat.
Die Diagonale einer Quadratfläche kennst du schon aus Pythagoras:
dF = a·√2
a = 6 cm
dF = 6·√2
dF ≈ 8,49 cm
dF = 6·√2
dF ≈ 8,49 cm
Hier verbindet sich die alte Pythagoras-Reihe direkt mit der Körperberechnung.
7. Schon ein Blick nach vorne: Raumdiagonale
Eine Raumdiagonale verläuft von einer Ecke durch das Innere zur gegenüberliegenden Ecke.
Man kann sie mit Pythagoras in zwei Schritten berechnen:
dR = √(dF² + a²)
Da dF² = 2a² gilt:
dR = a·√3
Die Raumdiagonale wird später noch ausführlicher geübt. Hier sollst du vor allem die Verbindung zu Pythagoras sehen.
8. Volumen oder Oberfläche?
Volumen
Wie viel passt hinein?
V = a³
Einheit: cm³
Wie viel passt hinein?
V = a³
Einheit: cm³
Oberfläche
Wie viel Außenfläche gibt es?
O = 6a²
Einheit: cm²
Wie viel Außenfläche gibt es?
O = 6a²
Einheit: cm²
9. Verständnisfragen
1) Wie viele Flächen hat ein Würfel?
2) Welche Form haben alle Würfelflächen?
3) Welche Volumenformel gilt?
4) Was bedeutet a³?
5) Welche Oberfläche hat ein Würfel mit a = 2 cm?
6) Welches Volumen hat ein Würfel mit a = 5 cm?
7) Welche Formel gilt für die Flächendiagonale?
8) Welche Formel gilt für die Raumdiagonale des Würfels?
9) Welche Einheit hat die Oberfläche?
10) Warum ist der Würfel ein besonderer Quader?
10. Mini-Test – ohne Antwortvorgaben
11) Würfel: a = 4 cm. Berechne V.
12) Würfel: a = 4 cm. Berechne O.
13) Würfel: a = 7 cm. Berechne V.
14) Würfel: a = 5 cm. Berechne O.
15) Würfel: a = 6 cm. Berechne die Flächendiagonale auf zwei Nachkommastellen.
16) Ergänze: V = a___
11. Fehlerdetektiv
Ein Schüler rechnet bei a = 4 cm:
V = 4³
V = 4·3
V = 12 cm³
V = 4·3
V = 12 cm³
Fehler: Hoch 3 bedeutet nicht „mal 3“.
Richtig: 4³ = 4·4·4 = 64 cm³.
12. Das musst du nach dieser Lektion können
✓Den Würfel als besonderen Quader verstehen.
✓G = a² berechnen.
✓V = a³ sicher anwenden.
✓O = 6a² berechnen.
✓a³ richtig als a·a·a verstehen.
✓Flächendiagonale und Raumdiagonale mit Pythagoras verbinden.