Körperberechnung 03: Quader

Jetzt wendest du die Grundidee V = G·h vollständig auf den Quader an. Du lernst Kanten, Grundfläche, Volumen, Oberfläche und die Verbindung zur Flächendiagonale.

Klasse 9 Quader V = a·b·h Oberfläche
0/16 geschafft

1. Was ist ein Quader?

Ein Quader ist ein Körper mit sechs rechteckigen Flächen.

Er hat drei verschiedene Kantenlängen:

  • a = Länge
  • b = Breite
  • h = Höhe
Gegenüberliegende Flächen sind immer gleich groß.
a b h

2. Grundfläche des Quaders

Die Grundfläche ist ein Rechteck.

G = a · b
a = 8 cm
b = 5 cm

G = 8 · 5
G = 40 cm²
G ist eine Fläche. Deshalb endet die Einheit auf ².

3. Volumen des Quaders

V = G · h

Weil G = a·b gilt:

V = a · b · h
a = 8 cm, b = 5 cm, h = 3 cm

V = 8 · 5 · 3
V = 120 cm³
Merksatz: Länge · Breite · Höhe = Volumen.

4. Was ist die Oberfläche?

Das Volumen beschreibt den Raum im Inneren.

Die Oberfläche O beschreibt die Summe aller äußeren Flächen.

Volumen V

Innenraum
Einheit: cm³
Oberfläche O

Alle Außenflächen zusammen
Einheit: cm²

5. Die sechs Flächen des Quaders

Es gibt immer drei Paare gleich großer Rechtecke:

2 · a·b
oben + unten
2 · a·h
vorne + hinten
2 · b·h
links + rechts
O = 2ab + 2ah + 2bh

Man kann auch schreiben:

O = 2(ab + ah + bh)

6. Beispiel Oberfläche

Gegeben: a = 6 cm, b = 4 cm, h = 3 cm.

1
ab = 6·4 = 24 cm²
2
ah = 6·3 = 18 cm²
3
bh = 4·3 = 12 cm²
4
O = 2(24+18+12)
5
O = 2·54 = 108 cm²
Typischer Fehler: Nicht einfach a+b+h addieren. Oberfläche bedeutet Flächen addieren, nicht Kantenlängen.

7. Verbindung zu Pythagoras: Flächendiagonale

Auf jeder rechteckigen Fläche des Quaders kann eine Diagonale berechnet werden.

Auf der Grundfläche mit Seiten a und b gilt:

d = √(a²+b²)

Das ist genau derselbe Pythagoras wie bei einem normalen Rechteck.

d
Pythagoras bleibt also ein Werkzeug innerhalb der Körperberechnung.

8. Volumen oder Oberfläche?

Frage: Wie viel passt hinein?

→ Volumen
→ cm³
Frage: Wie viel Material braucht man zum Verpacken?

→ Oberfläche
→ cm²
Prüfungstipp: Achte auf Wörter wie „Inhalt“, „Füllmenge“ oder „Raum“ für Volumen; „Verpackung“, „Anstrich“, „Oberfläche“ für Fläche.

9. Verständnisfragen

1) Wie viele Flächen hat ein Quader?
2) Welche Formel gilt für die Grundfläche?
3) Welche Formel gilt für das Volumen?
4) Welche Einheit hat das Volumen?
5) Welche Formel beschreibt die Oberfläche?
6) a=5 cm, b=4 cm, h=3 cm. Wie groß ist V?
7) a=6 cm, b=8 cm. Wie groß ist die Diagonale der Grundfläche?
8) Was beschreibt die Oberfläche?
9) Welche Einheit hat die Oberfläche?
10) Wozu braucht man Pythagoras beim Quader?

10. Mini-Test – ohne Antwortvorgaben

11) Quader: a=9 cm, b=4 cm, h=5 cm. Berechne V.
12) Quader: a=7 cm, b=3 cm. Berechne G.
13) Quader: a=5 cm, b=4 cm, h=3 cm. Berechne O.
14) Quader: a=10 cm, b=24 cm. Berechne die Diagonale der Grundfläche.
15) Ergänze: Oberfläche hat die Einheit ________.
16) Ergänze: Volumen hat die Einheit ________.

11. Fehlerdetektiv

Ein Schüler rechnet für a=6 cm, b=4 cm, h=3 cm:

O = 6·4·3
O = 72 cm²
Fehler: 6·4·3 berechnet das Volumen. Für die Oberfläche müssen alle drei Flächenpaare berücksichtigt werden:
O = 2(6·4 + 6·3 + 4·3) = 2(24+18+12) = 108 cm².

12. Das musst du nach dieser Lektion können

✓Die drei Kanten a, b und h erkennen.
✓G = a·b berechnen.
✓V = a·b·h berechnen.
✓O = 2(ab+ah+bh) anwenden.
✓Volumen und Oberfläche sicher unterscheiden.
✓Mit Pythagoras eine Flächendiagonale berechnen.